miércoles, 15 de diciembre de 2010

Integral Definida




La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y laintegral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.


Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.


Aproximaciones a la integral de √xentre 0 y 1, con 5 muestras por la izquierda (arriba) y 12 muestras por la derecha (abajo).
Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:

¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?
Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será

 \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.



Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1.
Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. 
Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

\sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \ldots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0,7497\,\!



Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

 \int f(x) \, dx \,\!

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = 23x3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

     \int_0^1 \sqrt x \cdot dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \cdot dx = \int_0^1 d \left({\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}}\right) = {\textstyle \frac 2 3}.
Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación
  \int_A f(x) \, d\mu \,\!
hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) Lageometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes
       \int_{A} \bold{d} \omega = \int_{\part A} \omega , \,\!



a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.



Propiedades de la Integración


Linealidad
El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [ab] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

 f \mapsto \int_a^b f \; dx


es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,


 \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,


De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

 f\mapsto \int_E f d\mu


es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que
 \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu.


De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E  V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,
 f\mapsto\int_E f d\mu, \,




que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el sub espacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.


La linealidad, junto con algunas propiedades naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa deintegral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)10 para una caracterización axiomática de la integral.


Teorema Fundamental del Cálculo


El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.
  

Enunciado de los Teoremas



Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a,b], entonces F es derivable en x, y F(x) = f(x).

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.



Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a,b]. Si F es una función tal que F′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).
F(x) = \int_a^x f(t) \, dt
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:
es una primitiva de f en [a, b]. Además,
Aplicaciones al cálculo de áreas y volúmenes de revoluciónÁreas de recintos planos
Teniendo en cuenta los resultados anteriores el área que encierra una curva f con el eje de abscisas y las rectas x= a y x= b se puede calcular
así:  
    El área encerrada por dos curvas f y g entre a y b será 
      Ejemplo 2. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y=x-x2 y el eje OX.
        Solución

            = ==
              Ejercicio 1. Hallar el área limitada por las gráficas de f(x)= x  y  g(x)= 

                  Ejercicio 2. Hallar el área limitada por las gráficas de las parábolas y =x2      y   x = y2
                    Volúmenes de revolución
                      Si se conoce el área de la sección plana para todo x de [a, b], 
                        S(x)   V =
                          En particular para los volúmenes de revolución (Obtenidos al girar en torno al eje X):                V =
                            Ejemplo 3. Hallar el volumen de la esfera de radio r.
                              f(x)= luego V =

                                Teorema del Valor Medio para Integrales
                                  Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
                                  Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que f(c)(b - a) = 
                                    Demostración:
                                    Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.
                                    Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades. Aplicando propiedades:
                                      m (b - a)   M(b - a)      entonces        m  M.
                                        Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor  en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c) = .
                                          Interpretación Gráfica del Teorema para una Función Positiva:
                                          rectángulo inscripto (área menor que la de la región) 
                                          rectángulo del valor medio (área igual que la de la región)


                                          rectángulo circunscrito (área mayor que la de la región)
                                            El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. 
                                              En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.
                                              A =  = f(c)(b - a)
                                                El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio de una función por eso a f(c) = se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].
                                                  Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4].
                                                    Calculamos:
                                                      fprom =  =  (64 - 16 -1 + 1) = 16
                                                          Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor promedio. Se puede observar gráficamente.
                                                            Problema.
                                                              Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t.
                                                                Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largo plazo de las necesidades de producción y en la distribución de bienes y servicios.
                                                                  Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de la población P(t) desde t = 0 hasta t = 30
                                                                    Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.
                                                                      Valor promedio = 
                                                                        Valor promedio = = 
                                                                          Valor promedio » 7,2 miles de millones
                                                                            Técnica de Integración.
                                                                            Para poder integrar a "lápiz y papel" se requiere cierta experiencia con derivadas, algo de suerte y ciertas técnicas clásicas para integrar. Lamentablemente, muy a menudo, se confunde la técnica de integración con la matemática misma que trata sobre el cálculo de integrales (es decir, se confunde algoritmo con matemática).
                                                                               
                                                                                La gráfica de la función f( x ) = cos x sen3 x entre los valores 0 y p es como sigue
                                                                                    De tal forma que la integral pedida corresponde al área bajo la curva entre los valores 0 y p. Pareciera una integral bastante complicada, sin embargo debemos recordar que de tal forma entonces que

                                                                                    <!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
                                                                                    <!--[endif]-->
                                                                                        y por lo tanto la integral definida solicitada es
                                                                                            Veamos otro ejemplo: Calcular el área acotada por las curvas y = x / (1 + x2), y = 0, x = 0 , x = 2.
                                                                                              Lo que se pide entonces es la integral siguiente
                                                                                                  que es el área que se indica en el siguiente gráfico
                                                                                                      El cálculo de esta integral es relativamente sencillo si recordamos que de modo que
                                                                                                          y por lo tanto
                                                                                                              En resumidas cuentas, lo que se quiere decir en esta sección que hay una gran variedad de funciones en la que su integral es casi inmediata en cuanto y en tanto seamos capaces de reconocer su "anti-derivada", es decir seamos capaces de determinar que la función que queremos integrar proviene de una derivada que conocemos. Lamentablemente, no siempre es así. Otras veces tenemos que acudir a subterfugios algebraicos que se fundamentan en un reemplazo algebraico adecuado (con mucha suerte) para la resolución. Veamos el siguiente ejemplo.
                                                                                                                  Para esto acudimos a la identidad trigonométrica y de este modo
                                                                                                                      Por Sustitución Simple
                                                                                                                        El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
                                                                                                                          Supongamos que la integral a resolver es:
                                                                                                                            En la integral reemplazamos \ 2x^2+3 con (u): \int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx    \int^3_{-2} x \cos (u) dx
                                                                                                                              Ahora necesitamos sustituir también \ dx para que la integral quede sólo 
                                                                                                                                en función de \ u:
                                                                                                                                  Tenemos que \ 2x^2+3=u por tanto derivando se obtiene \ 4x  dx=du
                                                                                                                                    Se despeja \ dx=\frac{du}{4x} y se agrega donde corresponde en (1):
                                                                                                                                       \int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x}
                                                                                                                                        Simplificando:
                                                                                                                                           \int^3_{-2}  \cos (u) \frac{du}{4}
                                                                                                                                            Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
                                                                                                                                            Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
                                                                                                                                              En este caso, como se hizo \ u=2x^2+3  :
                                                                                                                                                u_1=2(-2)^2 + 3 = 11 \,\!  (límite inferior)
                                                                                                                                                  u_2=2(3)^2 + 3 = 21  \,\! (límite superior)
                                                                                                                                                    Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
                                                                                                                                                       \frac{1}{4} \int^{21}_{11}  \cos (u) du =  \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11))
                                                                                                                                                        Supongamos ahora que la integral a resolver es:
                                                                                                                                                           \int \frac {1}{5+ 3\cos (x)} dx
                                                                                                                                                             \frac{1}{4} \int^{21}_{11}  \cos (u) du =  \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11))
                                                                                                                                                              Supongamos ahora que la integral a resolver es:
                                                                                                                                                                 \int \frac {1}{5+ 3\cos (x)} dx
                                                                                                                                                                  Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: \ \sin (x)  y \ \cos (x)
                                                                                                                                                                    Triángulo rectágulo.
                                                                                                                                                                      La sustitución conveniente resulta ser \ u=\tan (x/2)  :
                                                                                                                                                                        \ \sin (x/2)= \frac {u}{\sqrt {1+ u^2}} \ \cos (x/2)= \frac {1}{\sqrt {1+ u^2}}
                                                                                                                                                                          Entonces \ \cos (x)= \cos^2 (x/2) - \sin^2 (x/2) = \frac {1-u^2}{1+u^2}
                                                                                                                                                                            por otra parte \ du = \frac {1}{2} \sec^2 (x/2) dx  o \ dx = 2 \cos^2 (x/2) du = \frac {2 du}{1 + u^2}
                                                                                                                                                                              la integral queda después de dicha sustitución:
                                                                                                                                                                                 \int \frac {du}{u^2 + 4} = \frac {1}{2} \arctan (u/2) + c = \frac {1}{2} \arctan (\frac {1}{2}\tan (x/2)) + c
                                                                                                                                                                                  Potencias de las Funciones Trigonométricas
                                                                                                                                                                                    En este aparato aprendemos a integrar funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas: para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes entidades trigonométricas:
                                                                                                                                                                                      Identidades Trigonométricas
                                                                                                                                                                                        Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones trigonométricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir a la integración por partes.
                                                                                                                                                                                          En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones relacionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.
                                                                                                                                                                                            \int sen^{n}x*cos^{m}xdx
                                                                                                                                                                                              o
                                                                                                                                                                                                \int sec^{n}x*tan^{m}xdx
                                                                                                                                                                                                  \int sen^{n}x*cos^{m}xdx
                                                                                                                                                                                                    (En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo). para evaluar
                                                                                                                                                                                                      En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene solo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o solo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).la identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
                                                                                                                                                                                                        Tendremos 3 casos:
                                                                                                                                                                                                          Cuando n es impar
                                                                                                                                                                                                            Cuando    n=2k+1podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad  sen^{2}x=1 - cos^{2}x para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
                                                                                                                                                                                                              \int sen^{2k+1}x*cos^{m}x dx
                                                                                                                                                                                                                \int sen^{2k}x*cos^{m}x*senx dx
                                                                                                                                                                                                                  \int (sen^{2}x)^{k}*cos^{m}x*senx dx
                                                                                                                                                                                                                    \int (1 - cos^{2}x)^{k}*cos^{m}x*senx dx
                                                                                                                                                                                                                      Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de                                                                            sustitución haciendo  u=cos(x)    du= - sen(x)dx . como en la expresión                                                                                               no tenemos un    - sen(x)dx  multiplicamos ambos lados por  *(-1) y nos                                                                            queda la expresion   -du= sen(x)dx que ya podemos sustituir:
                                                                                                                                                                                                                        -\int (1 - u^{2})^{k}*u^{m} du

                                                                                                                                                                                                                        Cuando m es impar
                                                                                                                                                                                                                          Cuando m=2k+1podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear cos^{2}x =1 - sen^{2}x  para poder expresar los factores restantes en términos del senx:
                                                                                                                                                                                                                            al hacer u=senx y du= cosxdx tendríamos
                                                                                                                                                                                                                              \int sen^{n}x*cos^{2k+1}x dx
                                                                                                                                                                                                                                \int sen^{n}x*cos^{2k}x*cosx dx
                                                                                                                                                                                                                                  \int sen^{n}x*(cos^{2}x)^{k}*cosx dx
                                                                                                                                                                                                                                    \int sen^{n}x*(1 - sen^{2}x)^{k}*cosx dx
                                                                                                                                                                                                                                      \int u^{n}*(1 - u^{2})^{k} du
                                                                                                                                                                                                                                        Cuando m y n son pares
                                                                                                                                                                                                                                          Cuando dichas potencias son pares a la vez n= 2k y m=2p, podemos                                                                          aplicar las identidades de la mitad de ángulo sen^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x -y-                                                                                             algunas veces nos sera útil utilizar la identidad
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  senx*cosx =\frac{1}{2}sen2x
                                                                                                                                                                                                                                            cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x
                                                                                                                                                                                                                                              \int cos^{2p}x*sen^{2k}x dx
                                                                                                                                                                                                                                                seria igual a:
                                                                                                                                                                                                                                                  \int (cos^{2}x)^{p}*(sen^{2}x)^{k} dx
                                                                                                                                                                                                                                                    \int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x]^{p}*[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x]^{k} dx
                                                                                                                                                                                                                                                    Para evaluar \int sec^{n}x*tan^{m}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                      Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
                                                                                                                                                                                                                                                      Puesto que: (\frac{d}{dx})tanx = sec^2x, se puede separar un factor sec^2x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec^2x = 1 + tan^2x. O bien, puesto que: (\frac{d}{dx})secx = secx tanx, se puede separar un factor secx tanx y
                                                                                                                                                                                                                                                        \int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x]^{p}*[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x]^{k} dx
                                                                                                                                                                                                                                                          Para evaluar \int sec^{n}x*tan^{m}xdxSe puede usar una estrategia similar a la anterior.
                                                                                                                                                                                                                                                            Puesto que: (\frac{d}{dx})tanx = sec^2x, se puede separar un factor sec^2x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad sec^2x = 1 + tan^2x.
                                                                                                                                                                                                                                                              O bien, puesto que:
                                                                                                                                                                                                                                                                (\frac{d}{dx})secx = secx tanx, se puede separar un factor secx tanx y    \int [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x]^{p}*[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x]^{k} dx
                                                                                                                                                                                                                                                                  Para evaluar \int sec^{n}x*tan^{m}xdxSe puede usar una estrategia similar a la anterior. Puesto que: (\frac{d}{dx})tanx = sec^2x, se puede separar un factor sec^2x y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad
                                                                                                                                                                                                                                                                     sec^2x = 1 + tan^2x.
                                                                                                                                                                                                                                                                      O bien, puesto que:
                                                                                                                                                                                                                                                                        (\frac{d}{dx})secx = secx tanx, se puede separar un factor secx tanx y                                                                           convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
                                                                                                                                                                                                                                                                        Tendremos 5 casos:
                                                                                                                                                                                                                                                                          Cuando n es par
                                                                                                                                                                                                                                                                            n=2k separar un factor de sec^{2}x y utilice sec^{2}x=1 + tan^{2}x para lograr expresar los factores restantes en términos dtanx:
                                                                                                                                                                                                                                                                              \int sec^{2k}x*tan^{m}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                \int sec^{2k-2}x*tan^{m}x*sec^{2}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                  \int (sec^{2}x)^{k-1}*tan^{m}x*sec^{2}xdx \int [1 + tan^{2}x]^{k-1}*tan^{m}x*sec^{2}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                  de esta manera podemos hacer u=tanx y du=sec^{2}xdx y el integral quedaría así:
                                                                                                                                                                                                                                                                                    \int [1 + u^{2}]^{k -1}*u^mdu
                                                                                                                                                                                                                                                                                      Cuando m es impar
                                                                                                                                                                                                                                                                                        m=2k+1 apartar un factor de secx tanx y emplear  tan^{2}x = sec^{2}x - 1                                                                                    para poder expresar los factores que restan en términos de secx:
                                                                                                                                                                                                                                                                                          \int sec^{n}x*tan^{2k+1}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                            \int sec^{n-1}x*tan^{2k}x*secx*tanxdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                              \int sec^{n-1}x*(sec^{2}x - 1)^{k}*secx*tanxdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                de esta manera podemos hacer u=secx y du= secx*tanxdx y nos queda \int u^{n-1}*(u^2-1)^{k}du
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  \int tan^{2k}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                    \int tan^{2k-2}x*tan^{2}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                      \int tan^{2k-2}x*(sec^{2}x - 1)dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        \int tan^{2k-2}x*sec^{2}xdx - \int tan^{2k-2}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \int sec^{2k+1}xdx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se                                                                        muestra en el ejemplo 8.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                              cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos                                                                 trasladarlo a senx y cosx recordando que:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  secx = \frac{1}{cosx}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       y
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      tanx= \frac{senx}{cosx}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocasionalmente, un poco de  inventiva.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula                                                              establecida:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        \int tanx dx = ln |secx| + C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \int secx dx = ln |secx + tanx| + C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o                                                                            como sigue:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \int secx dx = \int secx \frac{secx + tanx}{secx + tanx}dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            = \int \frac{sec^2x + secx tanx}{secx + tanx}dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Si se sustituye u = secx + tanx, después du = (secx tanx + sec^2x)dx,                                                                        también, la integral se convierte en:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos                                                                 trasladarlo a senx y cosx recordando que:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      secx = \frac{1}{cosx}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            y
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          tanx= \frac{senx}{cosx}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario                                                                                 usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de                                                                       inventiva.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            A veces será necesario poder integrar tanx por medio de la fórmula                                                              establecida:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              \int tanx dx = ln |secx| + C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  \int secx dx = ln |secx + tanx| + C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Primero se mutiplican numerador y denominador por secx + tanx :
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    \int secx dx = \int secx \frac{secx + tanx}{secx + tanx}dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      = \int \frac{sec^2x + secx tanx}{secx + tanx}dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Si se sustituye u = secx + tanx, después du = (secx tanx + sec^2x)dx,                                                                        también, la integral se convierte en:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         \int (\frac{1}{u})du = ln |u| + C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Así, se tiene:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \int secx dx = ln |secx + tanx| + C
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad: csc^{2}x=1 + cot^{2}x
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Método de Integración Por Partes
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    mnemotécnia "Una Vaca menos intregral Vestida De Uniforme.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Eligiendo adecuadamente los valores de \ u y \ dv, puede simplificarse mucho                                                                                                        la resolución de la integral. \int_a^b u dv = \left. uv\right|_a^b - \int_a^b vdu.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        \ d(uv)  =  u dv  +  v du
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \int_a^b u (dv) =  uv - \int_a^b vdu
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              \int_a^b u dv =  uv - \int_a^b v du.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                "Sentado (\ integral) un (\ u) día vi (\ dv) (=) un (\ u) valiente (\ v) soldado                                                                                                                    (\ integral) vestido (\ v) de uniforme (\ du)" .
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  "Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día ví                                                                                   una vaca sin cola vestida de uniforme".
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    "Sentado (\ integral) un (\ u) día vi (\ dv) una vaca (\ uv) sin (\ -) cola (\ integral)                                                                                vestida (\ v) de uniforme (\ du)"
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      "Sentado un día ví: una vieja menos íntegra violando a dos universitarios"
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        "Un dinosaurio violó un velociraptor sin cola volador de Ucrania"
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Eligiendo adecuadamente los valores de \ u y \ dvpuede simplificarse mucho la resolución de la integral.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Para elegir la función  \ u \  se puede usar una de las siguiente reglas                                                                       mnemotécnicas:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              1. Arcoseno, arcocoseno, Logarítmicas, Polinómicas, exponenciales, Seno, coseno, tangente...  A L P E S.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales.  I L A T E.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra ILATE.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas  I L P E T
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Sustitución Trigonométrica
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               \sqrt {a^2 - u^2}  \sqrt {a^2 + u^2}  y  \sqrt {u^2 - a^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  En el caso general la integral a resolver es:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    \int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}= =\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}<0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            a < 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1. m\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =n\cdot \tan t
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                2. m\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =n\cdot \sec t
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  3. m\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =n\cdot \sin t
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       \sqrt {a^2 - u^2}  \sqrt {a^2 + u^2}  y  \sqrt {u^2 - a^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de                                                               Pitágoras e identidades trigonométricas.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          En el caso general la integral a resolver es:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            \int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos                                                                         a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  =\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      a > 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}<0 es decir: \sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        a < 0 Λ c-\frac{b^2}{4a}>0 es decir: \sqrt{-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          1. m\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =n\cdot \tan t
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            2. m\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =n\cdot \sec t
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              3. m\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =n\cdot \sin t
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Integración de Funciones Racionales de Seno y Coseno
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Y
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Si el integrando es una función racional de y 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            se puede reducir a una función racional de z mediante la sustitución Monografias.com  Con la finalidad de obtener la fórmula para Monografias.comMonografias.comen términos de z se utilizan las identidades siguientes: Monografias.comMonografias.comEntonces se tiene,
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Como entonces por lo tanto, Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Teorema.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Si Monografias.comentonces:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Ejemplos.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1) Evalúe Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Haciendo el cambio Monografias.com    entonces    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          2) Calcule    Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Como Monografias.com     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               y Monografias.comentonces
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  3) Evalúe Monografias.com
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Haciendo el cambio Monografias.com      
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace inversa (dos de sus aplicaciones). El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado de numerador Para mayor claridad, sea:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            \frac{A(x)}{B(x)}= \frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              en donde: m < n. Para reducir la expresión a fracciones parciales se deben seguir los siguientes pasos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              1) B(x) se debe expresar de la forma:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                B(x) = (x + an)(x + an − 1)...(x + a1)(x + a0) o
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  B(x) = (anx2 + bnx + cn)(an − 1x2 + bn − 1x + cn − 1)...(a1x2 + b1x + c1)                  (a0x2 + b0x + c0) es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos. Al hacer lo anterior la expresión se puede expandir de acuerdo a estos 5 pasos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    a) Factores Lineales Distintos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      \frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_2)} + ... + \frac{A_n}{(x+a_n)}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        b) factores lineales repetidos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_1)^2} + ... + \frac{A_n}{(x+a_1)^n}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            c) factores cuadráticos distintos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              \frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_2 x^2+b_2 x+c_2)} + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_n x^2+b_n x+c_n)}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                d) factores cuadráticos repetidos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  \frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)^2}  + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)^n}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Una mezcla de todos los anteriores
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Coordenadas Polares
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Es otro sistema para localizar puntos en el plano.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Para establecer un sistema de Coordenadas polares, seleccionamos un punto fijo O, llamado origen o polo y un rayo fijo, llamado eje polar, con extremo O. Para cualquier P en el plano, denotamos la distancia de O a P con r. La distancia OP determina un ángulo con OP como su lado terminal. Las coordenadas del par ordenado (r, ) se llaman coordenadas polares de P.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            es positivo si el ángulo se genera mediante la rotación del eje polar en sentido contrario a las manecillas del reloj.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Las coordenadas polares para un punto no son únicas. Un mismo punto P puede estar representado por diferentes coordenadas polares.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Áreas y longitud de arco en coordenadas polares Área en coordenadas polares. Para calcular la formula del área de una región cuyo contorno esta determinado por una ecuación polar, necesitaremos aplicar la formula del área de un sector circular: A = 1 r 2 (1) 2 en la cual, r es el radio y la medida del ángulo central. Esta formula se puede demostrar, aprovechando que el área de un sector es proporcional a su ángulo central, se modo que: A = ( / 2 ) r2 = 1 r 2 2 Sea R la región limitada por la curva cuya ecuación polar es r = F ( ) y los rayos = a y = b, donde F es una función positiva y continua, y 0 < b - a " 2 Sea P una participación del intervalo [a,b] mediante los números 1, y a = 0 < 1 ... n = b. Entonces, los rayos = 1 dividen a R en n regiones menores cuyos ángulos centrales son " 1 = 1 - i -1. Si escogemos i en el i - ésimo subintervalo [ i -1 , 1 ], el área " i , de la i - ésima región se estima, mediante el área del sector circulo cuyo ángulo central es " i, y su radio es F( i) así "A i " 1 [ F ( i)]2 " i 2 n Por lo tanto A " " 1 [ F ( i)]2 " i (2) i = 1 2 Es una aproximación al área total, A, de R. La aproximación de la ecuación (2) mejora cuando ||p|| 0; ya que las sumas en esta ecuación son sumas de Riemamn de la función g( ) = 1 [ F ( )]2 , resulta 2 Lim n b ||P|| 0 A " " 1 [ F ( i)]2 " i = " 1 [ F ( )]2 di = 1 2 a 2 Por consiguiente, la formula para calcular el área de la región R en ecuaciones es: b A = " 1 [ F ( )]2 d a 2   
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Gráfica de Ecuaciones en Coordenadas Polares
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  UNA ROSA DENTRO DE OTRA
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      CARDIOIDES
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  LIMACONES O CARACOLES
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo par a mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    <!--[if !supportLineBreakNewLine]--> <!--[endif]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    r = 1 + b cos 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora  está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:





                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          CIRCUNFERENCIA


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  LEMNISCATA


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  <!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  <!--[endif]-->


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              LA NEFROIDE DE FREETH




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  CONCOIDES DE NICÓMENES



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico encoordenadas polares de la concoide de Nicómenes:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  <!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  <!--[endif]-->

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            CISOIDE DE DIOCLES



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma:




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              PARÁBOLA
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ESPIRAL
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar. Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico:




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Área de una Región Plana
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ya en tiempos de los griegos se desarrolló un método llamado exhaución para calcular áreas de figuras planas.


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El método consistía en sucesivas aproximaciones (esencialmente es un paso al límite) en las que el área que se quiere calcular se encierra entre polígonos inscritos y circunscritos de n lados. A medida que aumenta n el área que se quiere calcular se va delimitando más claramente.



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Nosotros vamos a hacer un ejercicio muy similar para intentar calcular el área de una región plana limitada por una curva y los ejes x e y.


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Supongamos la gráfica de f(x)=-x2+5
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Vamos a utilizar el método del exhaución para calcular el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y x=5



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Utilizaremos 5 rectángulos para aproximar el área de la región que ves es la captura de arriba.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por defecto.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar como 2i / 5, siendo i=1,2,3,4,5
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Los puntos terminales de la izquierda los podemos expresar como 2 (i-1) /5 siendo i=1,2,3,4,5
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El área de cada uno de los rectángulos se obtiene de multiplicar su base= 2/5 por la altura,
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                que será en cada caso el valor de la función en cada punto terminal de la derecha.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Podemos expresarlo como Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2i/5)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si queremos obtener la suma de los cinco rectángulos podemos hacerlo de la siguiente forma mediante la notación sigma:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Aquí vemos que la aproximación por defecto al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 6.48 unidades cuadradas Procedamos ahora a aproximar el área por exceso
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La base de cada rectángulo dibujado vuelve a ser 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales).
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ahora la altura de cada rectángulo viene dada por el valor de la función en cada punto terminal de la izquierda.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2(i-1)/5)
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La suma de todos los rectángulos vendrá dada por el sumatorio siguiente expresado en notación sigma:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Aquí vemos que la aproximación por exceso al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 8.08 unidades cuadradas.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Podemos concluir que el Área de la región objeto de estudio está comprendida entre las dos medidas encontradas:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                6.48 < Área de la región plana < 8.08
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si quisiéramos afinar la medición lo que tendremos que hacer será aumentar el nº de rectángulos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Por ejemplo si utilizamos 25 rectángulos para aproximar la medición, tendríamos:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Área por defecto
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Área por exceso
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Parte Área de una Región Entre dos Curvas
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Cálculo Integral
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                anchura x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] x
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Sumando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                || || ! 0 (n ! "), tenemos
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                n
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                lim " [f(xi) - g(xi)] x
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                n ! " i=1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                n
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                = lim " [f(xi) - g(xi)] x = Cálculo Integral
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                [f(x) - g(x)] dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                n ! " i=1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Área de una Región en Teorema Coordenadas Polares.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Coordenadas Polares

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se consiera ρ = (ρ1 + ρ2) / 2 (el radio medio), el área de la región polar es efectivamenteρΔρΔθ.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a  polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta )
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Por ejemplo:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si la función es f(x,y) = x + y\,\!
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a φ y a ρ.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Se puenden obtener funciones incluso más simples:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si la función es f(x,y) = x^2 + y^2\,\!
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Uno tiene:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                f(\rho, \theta) = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2\,\!
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El determinante jacobiano de la transformación es:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                \frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \theta)} = 
\begin{vmatrix}
\cos \theta & - \rho \sin \theta \\
\sin \theta & \rho \cos \theta 
\end{vmatrix} = \rho

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a θ.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                \iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \, d \rho\, d \theta.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Longitud de un Arco

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1, P2....,P n-1 B, que unos puntos del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la longitud de cada cuerda tiende a cero.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Cálculo Integral

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos sobre la curva y = f(x), donde f(x) y su derivada f'(x) son continuas en el intervalo a " x " b, la longitud del arco AB viene dada por:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 S = Cálculo Integral
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ds = dx

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Análogamente, si A(a ,c) y B(b, d) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f(u), y = g (u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 S = Cálculo Integral
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ds = dy

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si A(u = u1) y B(u = u2) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f (u), y = f(u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por:
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 S = Cálculo Integral
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ds = du

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ejemplo 7.1
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Calcular la longitud del arco de la curva y = x3/2 entre x = 0 y x =5.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Solución: Puesto que dy/dx = 3/2x1/2,

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                S =Cálculo Integral
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ds=dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                = dx
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                =

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Volumen  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                volumen

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ejemplos

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                y = sen xx = 0x = π

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                volumen

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                esfera








                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                integral

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                volumen de la esfera


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                volumen

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                representación gráfica









                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1 Alrededor de su eje mayor.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Alrededor de su eje menor.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                representación gráfica

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ecuación

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                primer volumen

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ecuación

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                segundo volumen

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                puntos de corte
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                representación gráfica

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                integral definida

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                solución


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Método de la Corteza Cilíndrica


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Supongamos que se quiere rotar la región limitada por la curva $y=4x-x^{2}$ y el eje$x$ alrededor del eje$y$

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si se fueran a usar arandelas de espesor o ancho $\Delta y$ se tendría que buscar con la simetría que tiene la curva con respecto a la recta x=2 , cúal es el radio exterior en función de $y$ y cual el exterior en términos de $y$, es decir despejar de $y=4x-x^{2}$ $x$ en términos de $y$ resolviendo la ecuación cuadrática $-x^{2}+4x-y=0$ lo cual me dice que

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 MATHMATH MATH 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 con lo cual

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                después de efectuar y simplificar lo cual es siempre un proceso! Además aún no se ha realizado la integral y se está contando con que se pudo expresar $x$ en términos de $y$.


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ahora tomemos rectángulos paralelos al eje de rotación, que al girar producen cilindros
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                concéntricos circulares (cortezas cilíndricas o capas cilíndricas). Estas capas tienen una altura $h$, un radio exterior $r_{1}$ un radio interior $r_{2}$; si se abre un cilindro de estos se produce una lámina delgada rectangular cuya área es 2$\pi r_{1}h$ y cuyo espesor es $r_{1}-r_{2}.$ Su volumen estará dado por 2MATH.


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Traduciendo al caso de la curva del ejemplo $y=4x-x^{2},$haciendo una partición regular del intervalo $\left[ 0,4\right] $ en un subintervalo cualquiera MATH siMATHla altura $h$ de una corteza es MATH ; el radio de una corteza es $r=t_{i}$, el espesor MATH quedando el volumen de la iésima corteza


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH con lo cual MATH Volumen total. Ahora tomando el límite cuando MATH se obtieneMATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si se generaliza este proceso para una curva contínua $y=f(x)$ con MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH $\ dx$ .

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ejemplo 5: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la circunferencia de

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                centro en el punto $(0,2)$ y radio 2 alrededor de la recta $y=-1.$ (Toro)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la circunferencia la que genera el volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la que genera el volumen de la parte interior.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Sinembargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas ( producidas por rectángulos paralelos a la recta $y=-1)$

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El radio MATH es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es decir MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La altura MATH y el espesor $\Delta y$ con lo cual MATH que conduce a la integral

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH integral que se calcula haciendo $u=y-2$ MATH y al reemplazar

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                con lo cual MATH (unidades cúbicas).


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Otra Manera de ver el Volumen de una Corteza Cilíndrica.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Sea $r_{1}$ el radio exterior de la corteza , $r_{2}$ el radio interior de la corteza, h la altura.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                El volumen del cascarón será la diferencia entre el volumen externo y el volumen interno es decir

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Observemos que MATH es el promedio de los radios que se podría llamar $\overline{r}$ y $r_{1}-r_{2}$ podríamos llamarlo el espesor de la capa cilíndrica.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Ya utilizando la expresión del volumen obtenida, al hacer una partición regular del intervalo $\left[ a,b\right] $en el intervalo MATH el volumen de una corteza será MATH con MATH

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Haciendo suma de volúmenes de cortezas
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 MATH
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Al tomar el límite cuando MATH $V=$ $2\pi $
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                MATH
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                $x$
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                $dx$


                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Método de Secciones Transversales Paralelas.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La clave para entender las líneas paralelas cortadas por una transversal es observar que un ángulo en un punto de intersección debería tener la misma medida al ángulo en la misma posición relativa al otro punto de intersección.  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Por ejemplo, en la Figura 2.30(a), el 1y el 5 deben de tener la misma medida. En la Figura 2.30 (b), el 1 y el 5 no tienen la misma medida porque las dos líneas no son paralelas. Mídelos con un transportador para que te convenzas.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Una manera de convencerte a ti mismo de este hecho es hacer un dibujo en tu calculadora gráfica. Ajusta la ventana para incluir X del 1 al 10, Y de -5 al 5. Luego grafica las ecuaciones y1 = x - 3 y y 2 = x – 6 El dibujo que obtienes debe parcerse a la Figura 2.30(a), con el eje de x como la transversal. La pendiente de cada una de las dos líneas paralelas mide el ángulo que hace con el eje de x. ¡Pero ambas líneas tienen la misma pendiente! ¿Cuál es? Así que son ángulos congruentes; tienen la misma medida.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[endif]-->

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Por otra parte, si dos líneas cruzadas por una transversal tienen un par de ángulos correspondientes iguales, entonces las líneas deben ser paralelas. En la Figura 2.31(a), podemos verificar si las líneas son paralelas encontrando si los dos ángulos marcados (o cualquier otro par correspondiente) son iguales. En otras palabras, conociendo que los dos ángulos correspondientes tienen la misma medida garantiza que no importa cuán lejos se extiendan estas dos líneas en cualquier dirección, la distancia entre ellas se mantendrá igual.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                corresponding angles = ángulos correspondientes  alternate interior angles = ángulos interiores alternos 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Figura 2.31

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                La Figura 2.31(b) ilustra otro par de ángulos útiles que ocurre cuando dos líneas son cruzadas por una transversal.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Frase a conocer: Cuando dos líneas son cruzadas por una transversal, los dos ángulos con diferentes vértices que están entre las dos líneas y en lados opuestos de la transversal se llaman ángulos interiores alternos.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Frase a conocer: Cuando dos líneas son cruzadas por una transversal, los dos ángulos que están en la misma posición relativa a los dos puntos de cruce son llamados ángulos correspondientes.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[if !supportLineBreakNewLine]-->
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[endif]-->
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[endif]-->
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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[endif]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Frase a conocer: La frase si y solamente si significa que las dos afirmaciones que conectan son lógicamente equivalentes. Si una no es cierta, tampoco lo es la otra.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[endif]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Si sabemos que dos líneas son paralelas, entonces los ángulos correspondientes que se han formado por cualquier transversal deben ser iguales. En la Figura 2.30(a), las dos líneas sin marcar son paralelas, así que el

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                <!--[endif]-->
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                1 = 5, el 2 = 6, y así sucesivamente.